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用数学方法推导投标报价的可行性猜想

2020年02月19日 作者:陆思宇 打印 收藏

(一)最高投标限价的数学 定义

  令招标文件中规定的最高投 标限价C为一封闭区间,最高投标 限价C在区间内有唯一值如图1。

QQ图片20200219150922600.jpg(二)投标报价

  在上文所述的基础上,添加 投标人报价,假设报价存在无限 多,根据强大数定律及中心极限 定律,报价符合二项分布,标准 化后形成正态分布,即报价符合 以下模型:

QQ图片202002191511116001.jpg

  标准化后,则有如下定义:

  若随机变量X服从一个数学 期望为μ、标准方差为σ2的高斯分 布,记为: X~N(μ,σ2),则其概率密度函 数为

02600.jpg

  (f(x)∈(0,A)) 分布图像如图2:

图22500.jpg 

  把这个图像离散化,可以很 明显的看到投标报价的离散分布 图像,亦称作泊松分布如图3:

图3600.jpg


  按(一)的推导,(二)的 投标报价的函数分布图像,定义 域应在0到C之间,因此,以上图 像应在离散中心点到Y轴这个区间 内有定义,即该图像为半幅钟型 曲线。

(三)统计推断

  据此,大家已经知道了所有 报价标准化之后的模型为正态分 布。但是对于报价C’,大家仍然 无从得知C’是否为中标价,尤其 是针对合理低价法或者是经评审 后的最低投标价法。因此有必要 利用统计推断的方式对其进行推 断估计。

  统计推断一般有两种思路, 一种为贝叶斯方法,将统计领域 拉回到概率论的基础上,使得每 一个问题都只有唯一的答案。一 般处理方法是引入一个随机变量 θ刻画该模型,然后构造出一个 先验概率分布,在已知数据x的情 况下,原则上使用贝叶斯公式来 推导后验概率分布,这样就抓住 了x能提供关于θ的所有信息。另 外一种则是经典统计方法,该方 法将未知参数θ视为常数,但是 未知就需要估计,然后经典统计 的目标就是提出参数θ的的估计 方法,且保证有一些性质。

  从实际的角度来考虑,贝叶斯方法在计算方面相当棘手, 需要计算多重积分,而经典统计 方法则无需考虑该项。不过现在 有了计算机,计算方面的事情就 交给计算机来处理即可。笔者在 此文及下附的案例中运用的方式 便是贝叶斯方法。具体方法可以 查阅相关工具书籍,这里仅仅提 一句,需要验证θ的真值,必须 先经过统计推断的方式判定,否 则,后续采用信赖区间的方式取得的估计量θ n ^ 不能够保证在未知 参数θ里面。

(四)置信区间

  考虑到未知参数θ的一个估计量θ n ^,除了估计所得的数值,笔者 还试图建立起一个所谓的信赖区间 (即置信区间),这个区间内有很 高的概率包含参数θ的真值。

  置信区间的计算公式取决于所用到的统计量。置信区间是 在预先确定好的显著性水平下计 算出来的,显著性水平通常称为 α,如前所述,绝大多数情况会 将α设为0.05。置信度为(1- α),或者100×(1-α)%。 于是,如果α=0.05,那么置信度 则是0.95或95%,后一种表示方式 更为常用。置信区间的常用计算 方法如下:

  Pr(c1<=μ<=c2)=1-α

  求解步骤:

  第一步:求一个样本的均值

  第二步:计算出抽样误差。 经过实践,通常认为调查:100个 样本的抽样误差为±10%;500个 样本的抽样误差为±5%;1200个 样本时的抽样误差为±3%。

  第三步:用第一步求出的 “样本均值”加、减第二步计算 的“抽样误差”,得出置信区间 的两个端点。

  通常,笔者在估计报价的时 候,在抛弃该项目没有运作的前 提下,常常会粗暴的将拦标价乘 以0.95或者0.9(该系数系通过信 赖区间的参数估计得来,有兴趣 的同志可翻阅概率论与数理统计 的相关书籍),对于供应商而言 (就笔者所统计的),在这个区 间内获利比较丰富。当然,也有 不是那么准确的时候。

(五)案例分析

  案例1

  2019年4月,一个朋友咨询笔 者关于遵义市红花岗区南部城市 文化旅游项目工程结算审计服务 的事情,并告诉笔者该项目的采 购预算为4376900元人民币。

  笔者仔细翻阅了朋友发过来的 招标文件,招标文件中约定的:价 格分:30分,技术商务总和70分, 其中主观分占比20分,拉不开差 距,按照政府采购的评分办法,该 项目最低价作为评标基准价。

  笔者同朋友按照目前市场上 的人力物力成本并加以分析,确 定了该项目的最佳投标区间在120 万人民币左右(含盈利),理想 情况下,在压低利润的前提下确 定投标策略。

  本来这个事情算是这么定了,隔了大概两三天左右,朋友 的电话就打来了,说他去踏勘现 场的时候,十五分钟内跟下饺子 一样来了二十多号人,他觉得此 事有点不妙,约笔者晚上碰面细 化投标策略。

  笔者同朋友见面之后,针对 120万的价格再进行细化。笔者祭 出了本文(二)中所述投标人的报 价分布以及离散分析,通过标准 化、采用贝叶斯方法并取置信区间 以及测算成本,大致定下来最合适 的报价在78万左右,80万左右的样 子最为合适。然而朋友并未采纳笔 者的意见,坚持报了68万元。

  开标当天,据说开标会上价 格竞争的很惨烈,朋友报的68万 元最低价仍然没有中标,成交价 格最终为806993元。

  案例2:

  2019年9月份,某部队家具采购项目。该项目最高投标限价为 395.95万元人民币。因采购人希望 在项目实施过程中,控制好成本 及做好履约防控风险,一次偶然的 机会下笔者与采购人见了面,采 购人就此事咨询笔者,寻求合适 的中标价位以及如何防范后续的 履约风险。笔者建立在项目没有 寻租或者运作的前提下,运用信 赖区间的定义,向采购人建议, 该项目中标价会在95折或者9折这 个区间,因为货物类项目会存在 物有所值的一个隐含经济规律, 如果价格折扣低于7折,可能会引 起履约风险。事后证明,该项目中 标供应商正是以9折的折扣率拿下 了该项目。

QQ图片20200219154916600.jpg

  综上所述,采用数学方法,尤其是针对政府采购的项目,在考虑到成本及抛弃有寻租行为的前提下,该方法可以出奇制胜,然而笔者仍需大量的数据加以验证该方法的可行度,现正使用Python建立起相关的数据分析程序,望有兴趣的朋友能够根据项目信息采用该方法多加验证,亦希望有识之士能够多加以批评。

  

责编:冯君
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